Моделирование потоки алгоритм дейкстры. Нахождение кратчайших путей от заданной вершины до всех остальных вершин алгоритмом дейкстры. Была ли эта задача хорошей

Решить задачу о нахождении кратчайшего пути алгоритмом Дейкстры.
Найти кратчайший путь от Х0 до Х7. Граф задан элементами стоимостной матрицы

Построим этот граф


Начнем с элемента Х0 и присвоим ему метку 0, рассмотрим всех его соседей, т.к. там еще нет пометок, то присвоим им соответствующие длины:


Все соседи Х0 рассмотрены, помечаем ее и переходим к вершине Х1. ЕЕ соседи Х0, Х2,Х4, но Х0 помечена, не рассматриваем ее. Для Х2: , оставляем метку.

Для Х4: , заменяем метку. Все соседи вершины Х1 рассмотрены, помечаем ее


переходим к вершине Х2. ЕЕ соседи Х0, Х1,Х3, Х4, Х5, Х6, но Х0, Х1 помечены, не рассматриваем их.
Для Х3: , оставляем метку.
Для Х5: , заменяем метку.
Для Х4: , оставляем метку.
Для Х6: , заменяем метку.
Все соседи вершины Х2 рассмотрены, помечаем ее.


переходим к вершине Х3. ЕЕ соседи Х0, Х2, Х6, но Х0, Х2 помечены, не рассматриваем их.
Для Х6: , оставляем метку.
Все соседи вершины Х3 рассмотрены, помечаем ее.


переходим к вершине Х4. ЕЕ соседи Х1,Х2, Х5, Х7, но Х1, Х2 помечены, не рассматриваем их.
Для Х5: , заменяем метку.
Для Х7: , заменяем метку.
Все соседи вершины Х4 рассмотрены, помечаем ее.


переходим к вершине Х5. ЕЕ соседи Х2,Х4, Х6, Х7, но Х2, Х4 помечены, не рассматриваем их.
Для Х6: , оставляем метку.
Для Х7: , оставляем метку.
Все соседи вершины Х5 рассмотрены, помечаем ее.


переходим к вершине Х6. ЕЕ соседи Х2,Х3, Х5, Х7, но Х2, Х3, Х5 помечены, не рассматриваем их.
Для Х7: , оставляем метку.
Все соседи вершины Х6 рассмотрены, помечаем ее. И помечаем оставшуюся Х7, все вершины рассмотрены.


Вывод: Кратчайший путь их Х0 в Х7 имеет длину 101, этот путь: Х7-Х4-Х1-Х0.

Рассмотрим пример нахождение кратчайшего пути. Дана сеть автомобильных дорог, соединяющих области города. Некоторые дороги односторонние. Найти кратчайшие пути от центра города до каждого города области.

Для решения указанной задачи можно использовать алгоритм Дейкстры — алгоритм на графах, изобретённый нидерландским ученым Э. Дейкстрой в 1959 году. Находит кратчайшее расстояние от одной из вершин графа до всех остальных. Работает только для графов без рёбер отрицательного веса.

Пусть требуется найти кратчайшие расстояния от 1-й вершины до всех остальных.

Кружками обозначены вершины, линиями – пути между ними (ребра графа). В кружках обозначены номера вершин, над ребрами обозначен их вес – длина пути. Рядом с каждой вершиной красным обозначена метка – длина кратчайшего пути в эту вершину из вершины 1.

Метка самой вершины 1 полагается равной 0, метки остальных вершин – недостижимо большое число (в идеале — бесконечность). Это отражает то, что расстояния от вершины 1 до других вершин пока неизвестны. Все вершины графа помечаются как непосещенные.

Первый шаг

Минимальную метку имеет вершина 1. Её соседями являются вершины 2, 3 и 6. Обходим соседей вершины по очереди.

Первый сосед вершины 1 – вершина 2, потому что длина пути до неё минимальна. Длина пути в неё через вершину 1 равна сумме кратчайшего расстояния до вершины 1, значению её метки, и длины ребра, идущего из 1-й в 2-ю, то есть 0 + 7 = 7. Это меньше текущей метки вершины 2 (10000), поэтому новая метка 2-й вершины равна 7.


Аналогично находим длины пути для всех других соседей (вершины 3 и 6).

Все соседи вершины 1 проверены. Текущее минимальное расстояние до вершины 1 считается окончательным и пересмотру не подлежит. Вершина 1 отмечается как посещенная.

Второй шаг

Шаг 1 алгоритма повторяется. Снова находим «ближайшую» из непосещенных вершин. Это вершина 2 с меткой 7.

Снова пытаемся уменьшить метки соседей выбранной вершины, пытаясь пройти в них через 2-ю вершину. Соседями вершины 2 являются вершины 1, 3 и 4.

Вершина 1 уже посещена. Следующий сосед вершины 2 - вершина 3, так как имеет минимальную метку из вершин, отмеченных как не посещённые. Если идти в неё через 2, то длина такого пути будет равна 17 (7 + 10 = 17). Но текущая метка третьей вершины равна 9, а 9 < 17, поэтому метка не меняется.


Ещё один сосед вершины 2 - вершина 4. Если идти в неё через 2-ю, то длина такого пути будет равна 22 (7 + 15 = 22). Поскольку 22<10000, устанавливаем метку вершины 4 равной 22.

Все соседи вершины 2 просмотрены, помечаем её как посещенную.

Третий шаг

Повторяем шаг алгоритма, выбрав вершину 3. После её «обработки» получим следующие результаты.

Четвертый шаг

Пятый шаг

Шестой шаг

Таким образом, кратчайшим путем из вершины 1 в вершину 5 будет путь через вершины 1 — 3 — 6 — 5 , поскольку таким путем мы набираем минимальный вес, равный 20.

Займемся выводом кратчайшего пути. Мы знаем длину пути для каждой вершины, и теперь будем рассматривать вершины с конца. Рассматриваем конечную вершину (в данном случае — вершина 5 ), и для всех вершин, с которой она связана, находим длину пути, вычитая вес соответствующего ребра из длины пути конечной вершины.
Так, вершина 5 имеет длину пути 20 . Она связана с вершинами 6 и 4 .
Для вершины 6 получим вес 20 — 9 = 11 (совпал) .
Для вершины 4 получим вес 20 — 6 = 14 (не совпал) .
Если в результате мы получим значение, которое совпадает с длиной пути рассматриваемой вершины (в данном случае — вершина 6 ), то именно из нее был осуществлен переход в конечную вершину. Отмечаем эту вершину на искомом пути.
Далее определяем ребро, через которое мы попали в вершину 6 . И так пока не дойдем до начала.
Если в результате такого обхода у нас на каком-то шаге совпадут значения для нескольких вершин, то можно взять любую из них — несколько путей будут иметь одинаковую длину.

Реализация алгоритма Дейкстры

Для хранения весов графа используется квадратная матрица. В заголовках строк и столбцов находятся вершины графа. А веса дуг графа размещаются во внутренних ячейках таблицы. Граф не содержит петель, поэтому на главной диагонали матрицы содержатся нулевые значения.

Реализация на C++

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
#define SIZE 6
int main()
{
int a; // матрица связей
int d; // минимальное расстояние
int v; // посещенные вершины
int temp, minindex, min;
int begin_index = 0;
system("chcp 1251" );
system("cls" );
// Инициализация матрицы связей
for (int i = 0; i {
a[i][i] = 0;
for (int j = i + 1; j printf("Введите расстояние %d - %d: " , i + 1, j + 1);
scanf("%d" , &temp);
a[i][j] = temp;
a[j][i] = temp;
}
}
// Вывод матрицы связей
for (int i = 0; i {
for (int j = 0; j printf("%5d " , a[i][j]);
printf("\n" );
}
//Инициализация вершин и расстояний
for (int i = 0; i {
d[i] = 10000;
v[i] = 1;
}
d = 0;
// Шаг алгоритма
do {
minindex = 10000;
min = 10000;
for (int i = 0; i { // Если вершину ещё не обошли и вес меньше min
if ((v[i] == 1) && (d[i] { // Переприсваиваем значения
min = d[i];
minindex = i;
}
}
// Добавляем найденный минимальный вес
// к текущему весу вершины
// и сравниваем с текущим минимальным весом вершины
if (minindex != 10000)
{
for (int i = 0; i {
if (a[i] > 0)
{
temp = min + a[i];
if (temp < d[i])
{
d[i] = temp;
}
}
}
v = 0;
}
} while (minindex < 10000);
// Вывод кратчайших расстояний до вершин
printf("\nКратчайшие расстояния до вершин: \n" );
for (int i = 0; i printf("%5d " , d[i]);

// Восстановление пути
int ver; // массив посещенных вершин
int end = 4; // индекс конечной вершины = 5 - 1
ver = end + 1; // начальный элемент - конечная вершина
int k = 1; // индекс предыдущей вершины
int weight = d; // вес конечной вершины

while (end != begin_index) // пока не дошли до начальной вершины
{
for (int i = 0; i// просматриваем все вершины
if (a[i] != 0) // если связь есть
{
int temp = weight - a[i]; // определяем вес пути из предыдущей вершины
if (temp == d[i]) // если вес совпал с рассчитанным
{ // значит из этой вершины и был переход
weight = temp; // сохраняем новый вес
end = i; // сохраняем предыдущую вершину
ver[k] = i + 1; // и записываем ее в массив
k++;
}
}
}
// Вывод пути (начальная вершина оказалась в конце массива из k элементов)
printf("\nВывод кратчайшего пути\n" );
for (int i = k - 1; i >= 0; i--)
printf("%3d " , ver[i]);
getchar(); getchar();
return 0;
}

Алгоритм Дейкстры предназначен для нахождения кратчайшего пути между вершинами в неориентированном графе.

Идея алгоритма следующая: сначала выберем путь до начальной вершины равным нулю и заносим эту вершину во множество уже выбранных, расстояние от которых до оставшихся невыбранных вершин определено. На каждом следующем этапе находим следующую выбранную вершину, расстояние до которой наименьшее, и соединенную ребром с какой-нибудь вершиной из множества невыбранных (это расстояние будет равно расстоянию до выбранной вершины плюс длина ребра).

Пример 1. Найти кратчайший путь на графе от вершины L до вершины D (рис. 10.7).

Рис. 10.7.

Запишем алгоритм в виде последовательности шагов (табл. 10.1). Шаг 1. Определяем расстояния от начальной вершины L до всех остальных.

Таблица 10.1

Метод Дейкстры (первый шаг)

Шаг 2. Выбираем наименьшее расстояние от L до В; найденная вершина В принимается за вновь выбранную. Найденное наименьшее расстояние добавляем к длинам ребер от новой вершины В до всех остальных. Выбираем минимальное расстояние от В до N. Новую вершину N принимаем за выбранную (табл. 10.2).

Таблица 10.2

Метод Дейкстры (второй шаг)

Для наглядности в дальнейшем вместо знака оо будем ставить знак « - ».

Шаг 3. Определяем расстояния от вершины N л о всех оставшихся (за исключением L и В), как показано в табл. 10.3.

Таблица 10.3

Метод Дейкстры (третий шаг)

Расстояние от вершины L через вершину N до вершины G равно 18 условных единиц. Это расстояние больше, чем расстояние LB + BG = 16 условных единиц, вследствие чего оно не учитывается в дальнейшем. Продолжая аналогичные построения, составим табл. 10.4. Таким образом, найдена длина кратчайшего пути между вершинами L и D (44 условных единицы).

Траекторию пути определяем следующим образом. Выполняем обратный просмотр от конечной вершины к начальной. Просматриваем столбец, соответствующий вершине, снизу вверх и фиксируем первое появление минимальной величины. В столбце, соответствующем вершине D, впервые минимальная длина 44 условных единицы появилась снизу в четвертой строке. В этой строке указана вершина S, к которой следует перейти, т.е. следующим нужно рассматривать столбец, соответствующий вершине S.

Таблица 10.4

В этом столбце минимальная длина, равная 27 условным единицам, указывает следующую вершину G, к которой надлежит перейти, и т.д. Таким образом, получаем траекторию пути: (L, В, G, S, D).

Пример 8. Найти кратчайший путь на графе между 1-й и 7-й вершинами (рис. 10.8).

Определяем (табл. 10.5) следующую выбранную вершину, расстояние до которой наименьшее и соединенную ребром с одной из вершин, принадлежащих множеству невыбранных (это расстояние будет равно расстоянию до выбранной вершины плюс длина ребра).

Рис. 10.8. Граф (а) и соответствующая ему матрица смежности (б)

Табличная реализация метода Дейкстры

Таблица 10.5

Выполняем обратный просмотр от конечной вершины к начальной.

Просматриваем столбец, соответствующий вершине, снизу вверх и фиксируем первое появление минимальной величины. Кратчайший путь при этом будет равен (V 7 - V 5 - V 2 - У {).

и КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

• 1. Какова теоретическая сложность алгоритмов: построения дерева решений, динамического программирования и Дейкстры?
• 2. В чем особенность использования дерева решений для ориентированного и неорентированного графа?
• 3. В решении каких прикладных задач используются алгоритмы определения в графе кратчайших расстояний между заданными вершинами?
• 4. Может ли быть применен рассмотренный в работе алгоритм Дейкстры к определению кратчайшего расстояния в ориентированном графе?
• 5. Как работает алгоритм Дейкстры?
• 6. Как работает алгоритм динамического программирования применительно к задаче определения в графе кратчайших расстояний между вершинами?

) выполняется за время O(m + n \ln n) и является асимптотически быстрейшим из известных последовательных алгоритмов для данного класса задач.

1.2 Математическое описание алгоритма

Пусть задан граф G = (V, E) с весами рёбер f(e) и выделенной вершиной-источником u . Обозначим через d(v) кратчайшее расстояние от источника u до вершины v .

Пусть уже вычислены все расстояния, не превосходящие некоторого числа r , то есть расстояния до вершин из множества V_r = \{ v \in V \mid d(v) \le r \} . Пусть

Тогда d(w) = d(v) + f(e) , и v лежит на кратчайшем пути от u к w .

Величины d^+(w) = d(v) + f(e) , где v \in V_r , e = (v, w) \in E , называются предполагаемыми расстояниями и являются оценкой сверху для настоящих расстояний: d(w) \le d^+(w) .

Алгоритм Дейкстры на каждом шаге находит вершину с наименьшим предполагаемым расстоянием, помечает её как посещённую и обновляет предполагаемые расстояния для всех концов рёбер, исходящих из неё.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Основные вычисления связаны с операциями над очередью с приоритетом:

• извлечение минимального элемента (delete_min);
• уменьшение приоритета элемента (decrease_key).

1.4 Макроструктура алгоритма

Псевдокод алгоритма:

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Конкретная реализация алгоритма Дейкстры определяется выбором используемого алгоритма очереди с приоритетом. В простейшем случае это может быть массив или список, поиск минимума в котором требует просмотра всех вершин. Более эффективным является использование кучи; наилучшую известную оценку сложности имеет вариант с использованием фибоначчиевой кучи .

Возможен вариант реализации, когда вершины добавляются в очередь не на этапе инициализации, а в момент первого посещения.

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Последовательная сложность алгоритма равна O(C_1 m + C_2n) , где

• C_1 – количество операций уменьшения расстояния до вершины;
• C_2 – количество операций вычисления минимума.

Оригинальный алгоритм Дейкстры использовал в качестве внутренней структуры данных списки, для которых C_1 = O(1) , C_2 = O(n) , так что общая сложность составляла O(n^2) .

При использовании фибоначчиевой кучи время вычисления минимума сокращается до C_2 = O(\ln n) , так что общая сложность равна O(m + n \ln n) , что является асимптотически наилучшим известным результатом для данного класса задач.

1.7 Информационный граф

Приводится граф алгоритма для базовой реализации алгоритма Дейкстры на списках или массивах.

Рисунок 1. Граф алгоритма без отображения входных и выходных данных. n=3. Желтым цветом обозначены операции сравнения, зеленым - операции изменения меток вершин, синим - пометка вершины.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Алгоритм Дейкстры допускает эффективную параллелизацию , среднее время работы O(n^{1/3}\ln n) с объёмом вычислений O(n \ln n + m) .

Первая оценка выполняется на основе характеристики daps, которая оценивает число выполненных обращений (чтений и записей) в память в секунду. Данная характеристика является аналогом оценки flops применительно к работе с памятью и является в большей степени оценкой производительности взаимодействия с памятью, чем оценкой локальности. Однако она служит хорошим источником информации, в том числе для сравнения с результатами по следующей характеристике cvg.

На рисунке 6 приведены значения daps для реализаций распространенных алгоритмов, отсортированные по возрастанию (чем больше daps, тем в общем случае выше производительность). Можно увидеть, что производительность работы с памятью достаточно низка. Это неудивительно, поскольку реализации алгоритмов над графами почти всегда обладают низкой эффективностью вследствие нерегулярности доступа к данным, что мы и увидели при анализе профиля обращений.

Рисунок 6. Сравнение значений оценки daps

Вторая характеристика – cvg – предназначена для получения более машинно-независимой оценки локальности. Она определяет, насколько часто в программе необходимо подтягивать данные в кэш-память. Соответственно, чем меньше значение cvg, тем реже это нужно делать, тем лучше локальность.

На рисунке 7 приведены значения cvg для того же набора реализаций, отсортированные по убыванию (чем меньше cvg, тем в общем случае выше локальность). Можно увидеть, что в данном случае значение cvg хорошо коррелирует с оценкой производительности и отражает низкую локальность, что соответствует выводам, сделанным при качественной оценке локальности.

Рисунок 7. Сравнение значений оценки cvg

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.4.1 Масштабируемость алгоритма

2.4.2 Масштабируемость реализации алгоритма

Проведём исследование масштабируемости параллельной реализации алгоритма согласно методике . Исследование проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов" Суперкомпьютерного комплекса Московского университета . Набор и границы значений изменяемых параметров запуска реализации алгоритма:

• число процессоров со значениями квадрата целого числа;
• размер графа с шагом 16000.

На следующем рисунке приведен график производительности выбранной реализации алгоритма в зависимости от изменяемых параметров запуска.

Рисунок 8. Параллельная реализация алгоритма. Изменение производительности в зависимости от числа процессоров и размера области.

В силу особенностей параллельной реализации алгоритма производительность в целом достаточно низкая и с ростом числа процессов увеличивается медленно, а при приближении к числу процессов 128 начинает уменьшаться. Это объясняется использованием коллективных операций на каждой итерации алгоритма и тем, что затраты на коммуникационные обмены существенно возрастают с ростом числа использованных процессов. Вычисления на каждом процессе проходят достаточно быстро и потому декомпозиция графа слабо компенсирует эффект от затрат на коммуникационные обмены.

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

Для проведения экспериментов использовалась реализация алгоритма Дейкстры. Все результаты получены на суперкомпьютере "Ломоносов". Использовались процессоры Intel Xeon X5570 с пиковой производительностью в 94 Гфлопс, а также компилятор intel 13.1.0. На рисунках показана эффективность реализации алгоритма Дейкстры на 32 процессах.

Рисунок 9. График загрузки CPU при выполнении алгоритма Дейкстры

На графике загрузки процессора видно, что почти все время работы программы уровень загрузки составляет около 50%. Это указывает на равномерную загруженность вычислениями процессоров, при использовании 8 процессов на вычислительный узел и без использования Hyper Threading.

Рисунок 10. График операций с плавающей точкой в секунду при выполнении алгоритма Дейкстры

На Рисунке 10 показан график количества операций с плавающей точкой в секунду. На графике видна общая очень низкая производительность вычислений около 250 Kфлопс в пике и около 150 Кфлопс в среднем по всем узлам. Это указывает то, что в программе почти все вычисления производятся с целыми числами.

На графике записей в память видна похожая картина неравномерности вычислений, при которой одновременно активно выполняют запись только несколько процессов. Это коррелирует с другими графиками выполнения. Стоит отметить достаточно низкое число обращений на запись в память. Это указывает на хорошую организацию вычислений и достаточно эффективную работу с памятью.

Рисунок 15. График скорости передачи по сети Infiniband в байт/сек при работе алгоритма Дейкстры

На графике скорости передачи данных по сети Infiniband наблюдается достаточно высокая скорость передачи данных в байтах в секунду. Это говорит о том, что процессы между собой обмениваются интенсивно и вероятно достаточно малыми порциями данных, потому как производительность вычислений высока. Стоит отметить, что скорость передачи отличается между процессами, что указывает на дисбаланс вычислений.

Рисунок 16. График скорости передачи по сети Infiniband в пакетах/сек при работе алгоритма Дейкстры

На графике скорости передачи данных в пакетах в секунду наблюдается крайне высокая интенсивность передачи данных. Это говорит о том, что, вероятно, процессы обмениваются не очень существенными объемами данных, но очень интенсивно. Используются коллективные операции на каждом шаге с небольшими порциями данных, что объясняет такую картину. Также наблюдается меньший дизбаланс между процессами, чем наблюдаемый в графиках использования памяти, вычислений и передачи данных в байтах/сек. Это указывает на то, что процессы обмениваются по алгоритму одинаковым числом пакетов, однако получают разные объемы данных и ведут неравномерные вычисления.

Рисунок 17. График числа процессов, ожидающих вхождения в стадию счета (Loadavg), при работе алгоритма Дейкстры

На графике числа процессов, ожидающих вхождения в стадию счета (Loadavg), видно, что на протяжении всей работы программы значение этого параметра постоянно и приблизительно равняется 8. Это свидетельствует о стабильной работе программы с загруженными вычислениями всеми узлами. Это указывает на очень рациональную и статичную загрузку аппаратных ресурсов процессами. И показывает достаточно хорошую эффективность выполняемой реализации. В целом, по данным системного мониторинга работы программы можно сделать вывод о том, что программа работала достаточно эффективно, и стабильно. Использование памяти очень интенсивное, а использование коммуникационной среды крайне интенсивное, при этом объемы передаваемых данных не являются высокими. Это указывает на требовательность к латентности коммуникационной среды алгоритмической части программы. Низкая эффективность связана, судя по всему, с достаточно высоким объемом пересылок на каждом процессе и с интенсивными обменами сообщениями.

Для начала рассмотрим алгоритм Фалкерсона (графический способ упорядочивания элементов):

• 1. Найти вершины графа, в которые не входит не одна дуга. Они образуют первую группу. Пронумеровать вершины группы в произвольном порядке.
• 2. Вычеркнуть все пронумерованные вершины и дуги, из них исходящие. В получившемся графе найдется, по крайней мере, одна вершина, в которую не входит ни одна дуга. Этой вершине, входящей во вторую группу, присвоить очередной номер, и т. д. Второй шаг повторять до тех пор, пока не будут упорядочены все вершины.

Теперь рассмотрим алгоритм нахождения кратчайшего пути между двумя заданными вершинами в ориентированном графе. Пусть G = {S, U, ? } - ориентированный граф со взвешенными дугами. Обозначим s-вершину - начало пути и t-вершину - конец пути.

Алгоритм Дейкстры содержит одно ограничение - веса дуг должны быть положительными. Сам алгоритм состоит из двух этапов. На первом находится длина кратчайшего пути, на втором строится сам путь от вершины s к вершине t.

Этап 1. Нахождение кратчайшего пути.

Шаг 1. Присвоение вершинам начальных меток.

Полагаем d(s)=0* и считаем эту метку постоянной (постоянные метки помечаются сверху звёздочкой). Для остальных вершин x i S, x i ?s полагаем d(x i) = ? и считаем эти метки верными. Пусть x” = s, x” - обозначение текущей вершины.

Шаг 2. Изменение меток.

Для каждой вершины x i с временной меткой, непосредственно следующей за вершиной x”, меняем ее метку в соответствии со следующим правилом:

d нов. (x i) = min{d стар. (x i), d(x”)+щ(x”, x i)}.(1. 6. 1)

Шаг 3. Превращение метки из временной в постоянную.

Из всех вершин с временными метками выбираем вершину x j * с наименьшим значением метки

d(x j *) = min {d(x j) / x j S, d(x j) - временная}. (1. 6. 2)

Превращаем эту метку в постоянную и полагаем x” = x j *.

Шаг 4. Проверка на завершение первого этапа.

Если x” = t, то d(x”) - длина кратчайшего пути от s до t. В противном случае происходит возвращение ко второму шагу.

Этап 2. Построение кратчайшего пути.

Шаг 5. Последовательный поиск дуг кратчайшего пути.

Среди вершин, непосредственно предшествующих вершине x” c постоянными метками, находим вершину x i , удовлетворяющую соотношению

d(x”) = d(x i) + щ(x i , x”).(1. 6. 3)

Включаем дугу (x i , x”) в искомый путь и полагаем x” = x i .

Шаг 6. Проверка на завершение второго этапа.

Если x” = s, то кратчайший путь найден - его образует последовательность дуг, полученных на пятом шаге и выстроенных в обратном порядке. В противном случае возвращаемся к пятому шагу.

Пример 8: Задана весовая матрица? графа G. Найти минимальный путь из вершины x 1 в вершину x6 по алгоритму Дейкстры.

На рисунке 1. 11 изображён сам граф по данной матрице весов. Поскольку на данном графе есть цикл между вершинами x 2 , x 3 и x 5 , то вершины графа нельзя упорядочить по алгоритму Фалкерсона. На рисунке графа временные и постоянные метки указаны над соответствующей вершиной. Итак, распишем подробно работу алгоритма Дейкстры по шагам.

Шаг 1. Полагаем d(x 1) = 0*, x” = x 1 , d(x 2) = d(x 3) = d(x 4) = d(x 5) = d(x 6) = ?.

1-ая итерация.

Шаг 2. Множество вершин, непосредственно следующих за x” = x1 со временными метками S” = {x 2 , x 4 , x 5 }. Пересчитываем временные метки вершин: d(x 2) = min{?, 0*, + 9} = 9, d(x 4) = min{?, 0* + 6} = 6, d(x 5) = min{?, 0* + 11} = 11.

Шаг 3. Одна из временных меток превращается в постоянную min{9, ?, 6, 11, ?} = 6* = d(x 4), x” = x 4 .

Шаг 4. x” = x 4 ? t = x 6 , происходит возвращение на второй шаг.

2-ая итерация.

Шаг 2. S” = {x 2 , x 3 , x 5 }, d(x 2) = min{9, 6* + 5} = 9, d(x 3) = min {?, 6* + 7} = 13, d(x 5) = min{11, 6* + 6} = 11.

Шаг 3. min{d(x 2), d(x 3), d(x 5), d(x 6)} = min{9, 13, 11, ?} = 9* = d(x 2), x” = x 2 .

Шаг 4. x 2 ? x 6 , возвращение на второй шаг.

3-я итерация.

Шаг 2. S” ={x 3 }, d(x 3) = min{13, 9* + 8} = 13.

Шаг 3. min{d(x 3), d(x 5), d(x 6)} = min{31, 11, ?} = 11* = d(x 5), x” = x 5 .

Шаг 4. x 5 ? x 6 , возвращение на второй шаг.

4-ая итерация.

Шаг 2. S”={x 6 }, d(x 6) = min{?, 11* + 4} = 15.

Шаг 3. min {d(x 3), d(x 6)} = min{13, 15} = 13* = d(x 3), x” = x 3 .

Шаг 4. x 3 ? x 6 , возвращение на второй шаг.

5-ая итерация.

Шаг 2. S” = {x 6 }, d(x 6) = min{15, 13* + 9} = 15.

Шаг 3. min{d(x 6) } = min{15} = 15*, x” = x 6 .

Шаг 4. x 6 = t = x 6 , конец первого этапа.

Шаг 5. Составим множество вершин, непосредственно предшествующих x” = x 6 с постоянными метками S” = {x 3 , x 5 }. Проверим для этих двух вершин выполнение равенства d нов. (x i) = min{d стар. (x i), d(x”) + щ(x”, x i)}:

d(x”) = 15 = 11* + 4 = d(x 5) + щ(x 5 , x 6),

d(x”) = 15 ? 13* + 9 = d(x 3) + щ(x 3 , x 6).

Включаем дугу (x 5 , x 6) в кратчайший путь. x” = x 5 .

Шаг 6. x” ? s = x 1 , возвращение на пятый шаг.

2-ая итерация.

Шаг 5. S” = {x 1 , x 4 }.

d(x”) = 11 = 0* + 11 = d(x 1) + щ(x 1 , x 5),

d(x”) = 11 ? 6* + 6 = d(x 4) + щ(x 4 , x 5).

Включаем дугу (x 1 , x 5) в кратчайший путь. x” = x 1 .

Шаг 6. x” = s = x 1 , завершение второго этапа.

Итак, кратчайший путь от вершины x 1 до вершины x 6 построен. Его длина (вес) равна 15, сам путь образует следующая последовательность дуг: м = (x 1 , x 5) - (x 5 , x 6).