Система линейных уравнений матрица онлайн. Решение слау методом обратной матрицы. Решение системы с помощью обратной матрицы
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных x 1 , x 2 , ..., x n :
Эта система в "свернутом" виде может быть записана так:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n .
В соответствии с правилом умножения матрицрассмотренная система линейных уравнений может быть записана вматричной форме Ax=b , где
Матрица A , столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы . Матрица-столбец b , элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы . Матрица-столбец x , элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы .
Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде Ax=b , является матричным уравнением .
Если матрица системы невырождена , то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы Ax=b дается формулой:
x=A -1 b .
Пример
Решить систему
матричным
методом.
Решение найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов системы
Вычислим определитель, раскладывая по первой строке:
Поскольку Δ ≠ 0 , то A -1 существует.
Обратная матрица найдена верно.
Найдем
решение системы
Следовательно, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Проверка:
7. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных алгебраических уравнений.
Система линейных уравнений имеет вид:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .
Здесь а i j и b i (i = ; j = ) - заданные, а x j - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде:
где A = (а i j) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы , X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x j и из свободных членов b i .
Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c 1 , c 2 ,..., c n) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x 1 , x 2 ,..., x n каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T такой, что AC B.
Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой , если она не имеет решений.
,
образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.
Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.
Теорема Кронекера-Капелли . Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A иA совпадают, т.е. r(A) = r(A) = r.
Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:
1) M = (в этом случае система несовместна);
2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной );
3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной ). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.
Система
имеет единственное решение только в
том случае, когда
r(A) = n. При этом число
уравнений - не меньше числа неизвестных
(mn);
если m>n, то m-n уравнений являются
следствиями остальных. Если 0 Для
решения произвольной системы линейных
уравнений нужно уметь решать системы,
в которых число уравнений равно числу
неизвестных, - так называемые
системы крамеровского типа
: a 11
x 1
+
a 12
x 2
+...
+ a 1n
x n
=
b 1 , a 21
x 1
+ a 22
x 2
+...
+ a 2n
x n
=
b 2 ,
(5.3) ...
... ... ...
... ... a n1
x 1
+ a n1
x 2
+... + a nn
x n
= b n . Системы (5.3) решаются
одним из следующих способов: 1) методом
Гаусса, или методом исключения неизвестных;
2) по формулам Крамера;
3) матричным
методом. Пример
2.12
. Исследовать
систему уравнений и решить ее, если она
совместна: 5x 1
- x 2
+ 2x 3
+ x 4
= 7, 2x 1
+ x 2
+ 4x 3 -
2x 4
= 1, x 1
- 3x 2
- 6x 3
+ 5x 4
= 0. Решение.
Выписываем
расширенную матрицу системы:
Вычислим
ранг основной матрицы системы. Очевидно,
что, например, минор второго порядка в
левом верхнем углу
=
7
0; содержащие его миноры третьего порядка
равны нулю: Следовательно,
ранг основной матрицы системы равен 2,
т.е. r(A) = 2. Для вычисления ранга расширенной
матрицы A
рассмотрим окаймляющий минор значит,
ранг расширенной матрицы r(A)
= 3. Поскольку r(A)
r(A),
то система несовместна. Уравнения вообще, линейные алгебраические уравнения и их системы, а также методы их решения занимают в математике, как теоретической, так и прикладной, особое место. Это связано с тем обстоятельством, что подавляющее большинство физических, экономических, технических и даже педагогических задач могут быть описаны и решены с помощью разнообразных уравнений и их систем. В последнее время особую популярность среди исследователей, ученых и практиков приобрело математическое моделирование практически во всех предметных областях, что объясняется очевидными его преимуществами перед другими известными и апробированными методами исследования объектов различной природы, в частности, так называемых, сложных систем. Существует великое многообразие различных определений математической модели, данных учеными в разные времена, но на наш взгляд, самое удачное, это следующее утверждение. Математическая модель – это идея, выраженная уравнением. Таким образом, умение составлять и решать уравнения и их системы – неотъемлемая характеристика современного специалиста. Для решения систем линейных алгебраических уравнений наиболее часто используются методы: Крамера, Жордана-Гаусса и матричный метод. Матричный метод решения - метод решения с помощью обратной матрицы систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем. Если выписать коэффициенты при неизвестных величинах xi в матрицу A, неизвестные величины собрать в вектор столбец X, а свободные члены в вектор столбец B, то систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде следующего матричного уравнения A · X = B, которое имеет единственное решение только тогда, когда определитель матрицы A не будет равен нулю. При этом решение системы уравнений можно найти следующим способом X
= A
-1 · B
, где A
-1 - обратная матрица. Матричный метод решения состоит в следующем.
Пусть дана система линейных уравнений с n
неизвестными: Её можно переписать в матричной форме: AX
=
B
, где A
- основная матрица системы, B
и X
- столбцы свободных членов и решений системы соответственно: Умножим это матричное уравнение слева на A
-1 - матрицу, обратную к матрице A
: A
-1 (AX
) = A
-1 B
Так как A
-1 A
= E
, получаем X
= A
-1 B
. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A
. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A
: detA
≠ 0. Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B
= 0
, действительно обратное правило: система AX
=
0 имеет нетривиальное (то есть не нулевое) решение только если detA
= 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма. Пример
решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений
. Убедимся в том, что определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы линейных алгебраических уравнений не равен нулю. Следующим шагом будет вычисление алгебраических дополнений для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они понадобятся для нахождения обратной матрицы. Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
Основные понятия.
Определение 1
. Системой m
линейных уравнений с n
неизвестными называется система вида: где и Определение 2
. Решением системы (I) называется такой набор неизвестных , при котором каждое уравнение этой системы обращается в тождество. Определение 3
. Система (I) называется совместной
, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной
, если она не имеет решений. Совместная система называется определенной
, если она имеет единственное решение, и неопределенной
в противном случае. Определение 4
. Уравнение вида называется нулевым
, а уравнение вида называется несовместным
. Очевидно, что система уравнений, содержащая несовместное уравнение, является несовместной. Определение 5
. Две системы линейных уравнений называются равносильными
, если каждое решение одной системы служит решением другой и, наоборот, всякое решение второй системы является решением первой. Матричная запись системы линейных уравнений.
Рассмотрим систему (I) (см. §1). Обозначим: Матрица коэффициентов при неизвестных Матрица – столбец свободных членов Матрица – столбец неизвестных Определение 1.
Матрица называется основной матрицей системы
(I), а матрица - расширенной матрицей системы (I). По определению равенства матриц системе (I) соответствует матричное равенство: Правую часть этого равенства по определению произведения матриц (см. определение 3 § 5 главы 1
) можно разложить на множители: Равенство (2)
называется матричной записью системы (I)
. Решение системы линейных уравнений методом Крамера.
Пусть в системе (I) (см. §1) m=n
, т.е. число уравнений равно числу неизвестных, и основная матрица системы невырожденная, т.е. . Тогда система (I) из §1 имеет единственное решение где Δ = det A
называется главным определителем системы
(I), Δ i
получается из определителя Δ заменой i
-го столбца на столбец из свободных членов системы (I). Пример.Решить систему методом Крамера: По формулам (3)
Вычисляем определители системы: Чтобы получить определитель , мы заменили в определителе первый столбец на столбец из свободных членов; заменяя в определителе 2-ой столбец на столбец из свободных членов, получаем ; аналогичным образом, заменяя в определителе 3-ий столбец на столбец из свободных членов, получаем . Решение системы: Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
Пусть в системе(I) (см. §1) m=n
и основная матрица системы невырожденная . Запишем систему (I) в матричном виде (см. §2
): т.к. матрица A
невырожденная, то она имеет обратную матрицу (см. теорему 1 §6 главы 1
). Умножим обе части равенства (2)
на матрицу , тогда По определению обратной матрицы . Из равенства (3)
имеем Решить систему с помощью обратной матрицы Обозначим В примере (§ 3)мы вычислили определитель , следовательно, матрица A
имеет обратную матрицу . Тогда в силу (4)
, т.е. Найдем матрицу (см. §6 главы 1
) Метод Гаусса.
Пусть задана система линейных уравнений: Требуется найти все решения системы (I) или убедиться в том, что система несовместна. Определение 1.
Назовем элементарным преобразованием системы
(I) любое из трёх действий: 1) вычёркивание нулевого уравнения; 2) прибавление к обеим частям уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на число l; 3) перемена местами слагаемых в уравнениях системы так, чтобы неизвестные с одинаковыми номерами во всех уравнениях занимали одинаковые места, т.е. если, например, в 1-ом уравнении мы поменяли 2-ое и 3-е слагаемые, тогда то же самое необходимо сделать во всех уравнениях системы. Метод Гаусса состоит в том, что система (I) с помощью элементарных преобразований приводится к равносильной системе, решение которой находится непосредственно или устанавливается её неразрешимость. Как было описано в §2 система (I) однозначно определяется своей расширенной матрицей и любое элементарное преобразование системы (I) соответствует элементарному преобразованию расширенной матрицы: Преобразование 1) соответствует вычёркиванию нулевой строки в матрице , преобразование 2) равносильно прибавлению к соответствующей строке матрицы другой её строки, умноженной на число l, преобразование 3) эквивалентно перестановке столбцов в матрице . Легко видеть, что, наоборот, каждому элементарному преобразованию матрицы соответствует элементарное преобразование системы (I). В силу сказанного, вместо операций с системой (I) мы будем работать с расширенной матрицей этой системы. В матрице 1-ый столбец состоит из коэффициентов при х 1
, 2-ой столбец - из коэффициентов при х 2
и т.д. В случае перестановки столбцов следует учитывать, что это условие нарушается. Например, если мы поменяем 1-ый и 2-ой столбцы местами, то теперь в 1-ом столбце будут коэффициенты при х 2
, а во 2-ом столбце - коэффициенты при х 1
. Будем решать систему (I) методом Гаусса. 1. Вычеркнем в матрице все нулевые строки, если такие имеются (т.е. вычеркнем в системе (I) все нулевые уравнения). 2. Проверим, есть ли среди строк матрицы строка, в которой все элементы, кроме последнего, равны нулю (назовём такую строку несовместной). Очевидно, что такой строке соответствует несовместное уравнение в системе (I) , следовательно, система (I) решений не имеет и на этом процесс заканчивается. 3. Пусть матрица не содержит несовместных строк (система (I) не содержит несовместных уравнений). Если a 11 =0
, то находим в 1-ой строке какой-нибудь элемент (кроме последнего) отличный от нуля и переставляем столбцы так, чтобы в 1-ой строке на 1-ом месте не было нуля. Будем теперь считать, что (т.е. поменяем местами соответствующие слагаемые в уравнениях системы (I)). 4. Умножим 1-ую строку на и сложим результат со 2-ой строкой, затем умножим 1-ую строку на и сложим результат с 3-ей строкой и т.д. Очевидно, что этот процесс эквивалентен исключению неизвестного x 1
из всех уравнений системы (I), кроме 1-ого. В новой матрице получаем нули в 1-ом столбце под элементом a 11
: 5. Вычеркнем в матрице все нулевые строки, если они есть, проверим, нет ли несовместной строки (если она имеется, то система несовместна и на этом решение заканчивается). Проверим, будет ли a 22 / =0
, если да, то находим во 2-ой строке элемент, отличный от нуля и переставляем столбцы так, чтобы . Далее умножаем элементы 2-ой строки на Произведенные действия эквивалентны исключению неизвестного х 2
из всех уравнений системы (I), кроме 1-ого и 2-ого. Так как число строк конечно, поэтому через конечное число шагов мы получим, что либо система несовместна, либо мы придём к ступенчатой матрице (см. определение 2 §7 главы 1
) : Выпишем систему уравнений, соответствующую матрице . Эта система равносильна системе (I) Из последнего уравнения выражаем ; подставляем в предыдущее уравнение, находим и т.д., пока не получим . Замечание 1.
Таким образом, при решении системы (I) методом Гаусса мы приходим к одному из следующих случаев. 1. Система (I) несовместна. 2. Система (I) имеет единственное решение, если в матрице число строк равно числу неизвестных (). 3. Система (I) имеет бесчисленное множество решений, если число строк в матрице меньше числа неизвестных (). Отсюда имеет место следующая теорема. Теорема.
Система линейных уравнений либо несовместна, либо имеет единственное решение, либо – бесконечное множество решений. Примеры. Решить систему уравнений методом Гаусса или доказать ее несовместность: а) б) в) а) Перепишем заданную систему в виде: Мы поменяли местами 1-ое и 2-ое уравнение исходной системы, чтобы упростить вычисления (вместо дробей мы с помощью такой перестановки будем оперировать только целыми числами). Составляем расширенную матрицу: Нулевых строк нет; несовместных строк нет, ; исключим 1-ое неизвестное из всех уравнений системы, кроме 1-го. Для этого умножим элементы 1-ой строки матрицы на «-2» и сложим с соответствующими элементами 2-ой строки, что равносильно умножению 1-го уравнения на «-2» и сложению со 2-ым уравнением. Затем умножим элементы 1-ой строки на «-3» и сложим с соответствующими элементами третьей строки, т.е. умножим 2-ое уравнение заданной системы на «-3» и сложим с 3-им уравнением. Получим Матрице соответствует система уравнений Пусть
дана система
линейных уравнений с Будем
предполагать, что основная матрица
Замечание.
Отметим, что матричный метод решения
систем линейных уравнений в отличие от
метода Гаусса имеет ограниченное
применение: этим методом могут быть
решены только такие системы линейных
уравнений, у которых, во-первых, число
неизвестных равно числу уравнений, а
во-вторых, основная матрица невырожденная. Пример.
Решить систему линейных уравнений
матричным методом. Задана
система трёх линейных уравнений с тремя
неизвестными
Основная
матрица системы уравнений невырожденная,
поскольку её определитель отличен от
нуля: Обратную
матрицу
По
формуле матричного метода решения
систем линейных уравнений получим Данный
метод так же, как и матричный, применим
только для систем линейных уравнений,
у которых число неизвестных совпадает
с числом уравнений. Метод Крамера основан
на одноимённой теореме: Теорема
5.2.
Система
основная
матрица которой невырожденная, имеет
единственное решение, которое может
быть получено по формулам где
Пример.
Найдём решение системы линейных
уравнений, рассмотренной в предыдущем
примере, методом Крамера. Основная
матрица системы уравнений невырожденная,
поскольку
По
формулам, представленным в теореме 5.2,
вычислим значения неизвестных:
Базисное
решение
Исследовать
систему линейных уравнений – означает
определить, какой является эта система
– совместной или несовместной, и в
случае её совместности выяснить,
определённая эта система или неопределённая. Условие
совместности системы линейных уравнений
даёт следующая теорема Теорема
6.1 (Кронекера–Капелли).
Система
линейных уравнений совместна тогда и
только тогда, когда ранг основной матрицы
системы равен рангу её расширенной
матрицы: Для
совместной системы линейных уравнений
вопрос о её определённости или
неопределённости решается с применением
следующих теорем. Теорема
6.2.
Если
ранг основной матрицы совместной системы
равен числу неизвестных, то система
является определённой Теорема
6.3.
Если ранг основной матрицы совместной
системы меньше числа неизвестных, то
система является неопределённой. Таким
образом, из сформулированных теорем
вытекает способ исследования систем
линейных алгебраических уравнений.
Пусть n
– количество неизвестных,
Определение
6.1.
Базисным решением неопределённой
системы линейных уравнений называют
такое её решение, в котором все свободные
неизвестные равны нулю. Пример.
Исследовать систему линейных уравнений.
В случае неопределённости системы найти
её базисное решение. Вычислим
ранги основной
Вторую
строку матрицы сложим с её первой
строкой, умноженной на
К
третьей строке этой матрицы прибавим
вторую строку, умноженную на
удаляя
из которой третью и четвёртую строки
получим ступенчатую матрицу Таким
образом,
Неизвестные
По формулам Крамера;
Методом Гаусса;
Решение
: Теорема Кронекера-Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу ее расширенной матрицы, т. е. r
(A
)=r
(A 1
), где Расширенная матрица системы имеет вид: Умножим первую строку на (–3
),а вторую на (2
); прибавим после этого элементы первой строки к соответствующим элементам второй строки; вычтем из второй строки третью. В полученной матрице первую строку оставляем без изменений. 6
) и поменяем местами вторую и третью строки: Умножим вторую строку на (–11
) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. Разделим элементы третьей строки на (10
). Найдем определитель матрицы А
. Следовательно, r
(A
)=3
. Ранг расширенной матрицы r
(A 1
) так же равен 3
, т.е. r
(A
)=r
(A 1
)=3
Þ система совместна. 1) Исследуя систему на совместность, расширенную матрицу преобразовали по методу Гаусса. Метод Гаусса состоит в следующем: 1. Приведение матрицы к треугольному виду, т. е. ниже главной диагонали должны находиться нули (прямой ход). 2. Из последнего уравнения находим х 3
и подставляем его во второе, находим х 2
, и зная х 3
, х 2
подставляем их в первое уравнение, находим х 1
(обратный ход). Запишем, преобразованную по методу Гаусса, расширенную матрицу в виде системы трех уравнений: Þ х 3 =1
х 2 =х 3
Þ х 3 =1
2х 1 =4+х 2 +х 3
Þ 2х 1 =4+1+1
Þ Þ 2х 1 =6
Þ х 1 =3
.
2) Решим систему по формулам Крамера: если определитель системы уравнений Δ отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Вычислим определитель системы Δ: Т.к. определитель системы отличен от нуля, то согласно правилу Крамера, система имеет единственное решение. Вычислим определители Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 . Они получаются из определителя системы Δ заменой соответствующего столбца на столбец свободных коэффициентов. Находим по формулам неизвестные: Ответ: х 1 =3 , х 2 =1, х 3 =1.
3) Решим систему средствами матричного исчисления, т. е. при помощи обратной матрицы. А×Х=В
Þ Х=А -1 × В
, где А -1
– обратная матрица к А
, Столбец свободных членов, Матрица-столбец неизвестных. Обратная матрица считается по формуле: где D
- определитель матрицы А
, А ij
– алгебраические дополнения элемента а ij
матрицы А
. D
= 60 (из предыдущего пункта). Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица А обратима, и обратную к ней матрицу можно найти по формуле (*). Найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А по формуле: А ij =
(-1
) i+j M ij .
х 1 , х 2 , х 3
обратили каждое уравнение в тождество, то они найдены верно. Пример 6
.
Решить систему методом Гаусса и найти какие-нибудь два базисных решения системы.
.
- числа.
,
.
.
, т.е.
.
.
,
,
,
.
. (3)
.
; ; .
. (5)
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
. (I) .
.
и складываем с соответствующими элементами 3-ей строки, затем - элементы 2-ой строки на 
и складываем с соответствующими элементами 4-ой строки и т.д., пока не получим нули под a 22 /
.
,
.
;
;
.
.
.
.
неизвестными:
невырожденная.
Тогда, по теореме 3.1,
существует обратная матрица
Помножив матричное уравнение
на матрицу
слева, воспользовавшись определением
3.2, а также утверждением 8) теоремы 1.1,
получим формулу, на которой основан
матричный метод решения систем линейных
уравнений:
где
составим одним из методов, описанных в
пункте 3.
5.3. Метод Крамера
линейных уравнений с
неизвестными
определитель
матрицы, полученной из основной матрицы
системы уравнений заменой её
го
столбца столбцом свободных членов.
Вычислим определители
6. Исследование систем линейных уравнений.
Тогда:
и расширенной матриц
данной системы уравнений, для чего
приведём расширенную (а вместе с тем и
основную) матрицу системы к ступенчатому
виду:
третью строку – с первой строкой,
умноженной на
а четвёртую строку – с первой, умноженной
на
получим матрицу
а к четвёртой строке – первую, умноженную
на
В результате получим матрицу
Следовательно, данная система линейных
уравнений совместна, а поскольку величина
ранга меньше числа неизвестных, система
является неопределённой.Полученной
в результате элементарных преобразований
ступенчатой матрице соответствует
система уравнений
и
являются главными, а неизвестные
и
свободными. Придавая свободным неизвестным
нулевые значения, получим базисное
решение данной системы линейных
уравнений.
Загрузка...
